Các Giới Hạn Cơ Bản Toán Cao Cấp

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng Mục tiêuTrên cơ sở những kiến thức của chương trình phổ thông, mục tiêu của bài bác này là ôn tập, hệ thống hóa và nâng cao các kiến thức và kỹ năng về hàm số một trở nên số: Giới hạn, tính liên tiếp của hàm số.Bạn đã xem: các công thức tính giới hạn trong toán cao cấp

gợi ý học • Đây là bài xích học nhằm ôn tập và khối hệ thống hóa lại những kiến thức toán học đang học vào chương trình rộng rãi nên bạn cần đọc kỹ lại các kim chỉ nan về hàm số....

Bạn đang xem: Các giới hạn cơ bản toán cao cấp

*

bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤCThời lượng mục tiêu • đọc được tư tưởng hàm số, giới hạn, sựBạn đề nghị học với làm bài tập của bài bác nàytrong nhị tuần, từng tuần khoảng 3 mang đến 4 liên tụcgiờ đồng hồ. • Giải được những bài tập về hàm số, giới hạn, tính liên tục • Áp dụng ứng dụng toán để đo lường với hàm số, giới hạnNội dungTrên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài bác này là ôn tập, hệ thốnghóa và nâng cấp các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tiếp củahàm số.Hướng dẫn học• Đây là bài xích học nhằm ôn tập và khối hệ thống hóa lại những kiến thức toán học đã học trong chương trình phổ thông nên bạn phải đọc kỹ lại các triết lý về hàm số, giới hạn.• sau thời điểm đọc kỹ định hướng bạn cần làm bài tập càng các càng tốt để củng cố gắng và nâng cao kiến thức. 1 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.1. Hàm số một trở nên số1.1.1. Định nghĩa hàm số một phát triển thành số cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta điện thoại tư vấn ánh xạ f :X → R y = f (x) x là hàm số một biến số trên tập vừa lòng X , trong số ấy x là phát triển thành số độc lập, y là đại lượng phụ thuộc vào hay hàm số của x . Tập đúng theo X điện thoại tư vấn là miền khẳng định của hàm số f . Tập thích hợp f (X) = y ∈ , y = f (x) : x ∈ X hotline là miền giá trị của f nếu như hàm số một trở thành số đến trong dạng biểu thức: y = f (x) cơ mà không nói gì thêm thì ta hiểu miền xác minh của hàm số là tập hợp đều giá trị thực của biến số x khiến cho biểu thức tất cả nghĩa. Lấy ví dụ 1: Biểu thức y = 1 − x 2 xác minh khi : 1 − x 2 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1. Do đó miền khẳng định của hàm số y = 1 − x 2 là . Dễ dãi thấy rằng miền cực hiếm của hàm y là . Miền khẳng định của một hàm số có thể gồm nhiều tập bé rời nhau, trên từng tập con đó lại có một phép tắc riêng để khẳng định giá trị của hàm số. Hàm số rất có thể được khẳng định bởi các công thức khác nhau tùy nằm trong vào quý hiếm của biến. Lấy ví dụ 2: ⎧ x 2 + 1 khi x ≥ 0 f (x) = ⎨ ⎩1 − 2x khi x bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên CHÚ Ý: Đồ thị của hàm số hoàn toàn có thể là tập hợp các điểm tách rạc, cũng có thể gồm một trong những cung ngay tức khắc Ví dụ 3: ⎧ ⎪x 2 khi x ≤ 0 ⎪ Đồ thị của hàm số y = ⎨ x khi 0 1 ⎩2 Hình 1.1 câu hỏi vẽ demo đồ thị của hàm số f với miền xác minh là một khoảng số thực thường xuyên được xác định theo trình tự như sau: Lấy các số x1 , x 2 ,..., x n trường đoản cú miền khẳng định của hàm số (càng những điểm và những điểm càng ngay sát nhau càng tốt). • Tính những giá trị tương ứng của hàm số y1 = f (x1 ),..., y n = f (x n ) • khẳng định các điểm • M1 = (x1 , y1 ),..., M n = (x n , y n ) • Nối các điểm đã xác định nói trên ta gồm hình hình ảnh phác họa của vật dụng thị hàm số. Biện pháp vẽ như bên trên không trả toàn đúng chuẩn mà chỉ cho dáng vẻ của vật dụng thị hàm số. Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa Hình 1.2 những đặc trưng cơ bản, sự nhờ vào của cực hiếm của hàm số và đổi mới số. Quan sát vào thứ thị có thể dễ dàng quan giáp xu hướng thay đổi của giá trị hàm số lúc biến chủ quyền thay đổi.1.1.3. Hàm số đối kháng điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn1.1.3.1. Hàm số solo điệu Hàm số f (x) khẳng định trong khoảng tầm (a, b) • Được gọi là đối kháng điệu tăng trong vòng (a, b) nếu với tất cả x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp (Nếu điều kiện trên vẫn đúng vào lúc bỏ vết đẳng thức, tức là: ∀x1 , x 2 ∈ (a, b), x1 f (x 2 ) thì ta nói hàm f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a, b) ). Hàm số f được điện thoại tư vấn là đối chọi điệu bên trên (a, b) trường hợp nó chỉ 1-1 điệu tăng hoặc chỉ solo điệu giảm trong tầm này. Đồ thị của hàm số tăng là 1 đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số sút là đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang trọng phải. Hình 1.31.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ Hàm số f xác minh trên một tập vừa lòng D đối xứng ( x ∈ D ⇔ − x ∈ D ) , chẳng hạn khoảng (−l, l) , đoạn , tập (−b, −a) ∪ (a, b)(0 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục còn hàm số h(x) = x 3 , k(x) = sin x là những hàm lẻ bên trên R vì: ⎫ h(− x) = ( − x)3 = ( − x)3 = −h(x) ⎬ ∀x ∈ R k(− x) = sin( − x) = − sin x = −k(x) ⎭ Đồ thị của hàm chẵn dấn trục Oy làm trục đối xứng, còn vật dụng thị hàm lẻ nhận cội tọa độ O làm tâm đối xứng (hình 1.4) Hàm chẵn: Hàm lẻ:1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn Định nghĩa: Hàm số f được call là tuần trả trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) ví như tồn trên số thực p. ≠ 0 sao cho: ∀x ∈ D thì x ± p ∈ D cùng f (x + p) = f (x). Số p. Gọi là chu kỳ của hàm f . 5 bài bác 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp Nếu trong số số p nói trên, tồn tại một vài dương nhỏ nhất – cam kết hiệu vày T – thì T được điện thoại tư vấn là chu kỳ cơ phiên bản của f . Lấy ví dụ 5: những hàm sin x, cos x đông đảo tuần trả với chu kỳ luân hồi 2π vì: sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x ∀x ∈ R các hàm tgx,cotgx đa số tuần trả với chu kỳ π vì: π tg ( x + π ) = tgx,∀x ≠ + kπ;cotg(x + π) = cotg,∀x ≠ kπ 2 không chỉ có vậy các chu kỳ luân hồi nói trên những là các chu kỳ cơ bản. Thiệt vậy, chẳng hạn xem xét hàm y = sin x , trả sử trường thọ số dương T bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Hàm số g biến chuyển x thành y theo quy tắc trên hotline là (hàm số) hòa hợp của nhị hàm f với ϕ . Ký kết hiệu: g = f (ϕ(x)) . (Nhớ rằng trong giải pháp ký hiệu trên, hàm nào lép vế lại có tác động trước đến đổi thay x ). Ví dụ như 6: Hàm số y = sin 5 x là hàm vừa lòng của nhì hàm y = u 5 cùng u = sin x . Giải pháp nói sau cũng được chấp nhận: “Hàm số g(x) = sin 5 x là hàm phù hợp của nhị hàm f (x) = x 5 cùng ϕ(x) = sin x ”.1.1.5. Hàm số ngược Xét hàm số y = f (x) tất cả miền xác minh X , miền giá trị Y = f (X) . Nếu với mỗi y 0 ∈ Y tồn tại nhất x 0 ∈ X để f (x 0 ) = y0 (hay phương trình f (x) = y0 bao gồm nghiệm tốt nhất trong X ) thì quy tắc biến đổi mỗi số y ∈ Y thành nghiệm độc nhất của phương trình f (x) = y là một trong hàm số đi từ bỏ Y đến X call là hàm ngược của hàm f , cam kết hiệu f −1 f −1 (y) = x ⇔ f (x) = y. Lúc đó, thuận tiện thấy rằng f là hàm ngược của f −1 . Lấy ví dụ 7: Hàm số y = x 3 ( R → R ) tất cả hàm ngược là hàm số x = 3 y ( R → R ) vì: • y = x3 ⇔ x = 3 y Hàm số y = a x ( a > 0, a ≠ 1) ( R → R* ) tất cả hàm ngược là hàm số x = log a y + • ( R* → R ) vì: + y = a x ⇔ x = log a x. • những hàm lượng giác quen thuộc đều phải sở hữu hàm ngược với 1 cách ký hiệu: ⎛ ⎡ π π⎤ ⎞ Hàm số y = sin x ⎜ ⎢ − , ⎥ → ⎟ gồm hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược o ⎝⎣ 2 2⎦ ⎠ kia là: ⎛ ⎡ π π⎤⎞ x = arcsin y ⎜ → ⎢ − , ⎥ ⎟ . ⎣ 2 2⎦⎠ ⎝ ( → ) Hàm số y = cos x có hàm ngược, ta ký kết hiệu hàm ngược o đó là: x = arccos y ( → ) . ⎛⎛ π π ⎞ ⎞ Hàm số y = tgx ⎜ ⎜ − , ⎟ → R ⎟ gồm hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược kia là: o ⎝⎝ 2 2 ⎠ ⎠ ⎛ ⎛ π π ⎞⎞ x = arctgy ⎜ → ⎜ − , ⎟ ⎟. ⎝ 2 2 ⎠⎠ ⎝ 7 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp ( ( 0, π ) → R ) có hàm ngược, ta cam kết hiệu hàm ngược đó là: Hàm số y =cotgx o x = arccotgy ( → ( 0.π ) ) ( R → ( 0, π ) ) CHÚ Ý : • do thường ký hiệu x nhằm chỉ biến hòa bình và y để chỉ biến phụ thuộc vào nên khi biểu diễn hàm ngược thay vị x = f −1 (y) gồm viết y = f −1 (x) . Ví dụ điển hình y = log a x là hàm ngược của hàm: y = a x • Đồ thị của hai hàm ngược nhau không biến hóa như khi thay đổi vai trò x,y lẫn nhau thì nó đối xứng nhau qua mặt đường phân giác thứ nhất. Thật vậy, call (C) và (C’) lần lượt là vật thị của hai hàm f (x) và f −1 (x) thì theo định nghĩa: M = (x, y) ∈ (C) ⇔ M " = (y, x) ∈ (C ") Hình 1.6: Hàm mũ, hàm logarit1.1.6. Những hàm số sơ cấp1.1.6.1. Những hàm số sơ cấp cho cơ bản • Hàm lũy vượt y = x α (α ∈ R) Miền khẳng định (MXĐ) của hàm phụ thuộc vào vào số α . O nếu α ≥ 0 , MXĐ là R . O nếu như α nguyên âm. MXĐ là R 0 . 1 trường hợp α = , phường ∈ R* thì MXĐ là R + nếu o p. P chẵn và R nếu p lẻ. Hình 1.7: Đồ thị hàm số y = x 3 trường hợp α vô tỷ, MXĐ được quy cầu là R + . O • Hàm mũ: f (x) = a x (0 1 và nghịch vươn lên là nếu 0 1 với nghịch phát triển thành nếu o 0 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục y = cos x : bao gồm MXĐ là R ,o MGT ; cho tương xứng mỗi số thực x cùng với hoành độ điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác. Hàm cos là hàm chẵn, tuần trả với chu kỳ cơ bạn dạng 2π . Y = tgx : tất cả MXĐ lào π ⎧ ⎫ R ⎨(2k+1) , k ∈ Z ⎬ , ⎩ 2 ⎭ MGT R ; cho khớp ứng mỗi số thực x cùng với tung độ của giao Hình 1.8: Quy tắc xác minh các lượng chất giác điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tung là con đường thẳng có phương trình: x = 1 . Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bạn dạng π . Y = cotgx: tất cả MXĐ là R kπ, k ∈ Z , MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực xo với hoành độ của giao điểm tia OM ( M là điểm biểu diễn cung x radian trên phố tròn lượng giác) cùng với trục cotg là đường thẳng có phương trình y = 1 . Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bạn dạng π . Hình 1.9: Đồ thị những hàm số lượng giác 9 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • hàm lượng giác ngược ⎡ π π⎤ y = arcsin x : bao gồm MXĐ là , MGT ⎢ − , ⎥ là hàm ngược của hàm sin. O ⎣ 2 2⎦ Hàm y = arcsin x là hàm lẻ, đồng biến. Y = arccos x : có MXĐ là , MGT là hàm ngược của hàm cos. O Hàm y = arccos x là hàm nghịch biến. O ⎛ π π⎞ y = arctgx : có MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm tg. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arctgx là hàm lẻ, đồng biến. ⎛ π π⎞ y = arccotgx : bao gồm MXĐ là R , MGT ⎜ − , ⎟ là hàm ngược của hàm cotgx. O ⎝ 2 2⎠ Hàm y = arccotgx là hàm lẻ, nghịch biến. Hình 1.10: Đồ thị các hàm lượng giác ngược1.1.6.2. Định nghĩa Hàm số sơ cấp là một trong hàm số được thành lập và hoạt động từ các hàm số sơ cấp cơ phiên bản và hàm hằng cùng với một vài hữu hạn những phép toán số học tập (cộng, trừ, nhân chia) và những phép toán mang hàm hợp. Lấy ví dụ 8: những hàm số sau đầy đủ là những hàm sơ cấp: • Hàm bậc nhất: y = ax + b .10 bài xích 1: Hàm số, giới hạn và thường xuyên • Hàm bậc hai: y = ax 2 + bx + c . ) ( • Hàm lôgarit: log a x + x 2 + 1 . 1 + sin x • các chất giác: y = + arctg(2x + 3) . 1− x2 x • Hàm phân thức hũu tỷ: y = . 1− x21.2. Dãy số và giới hạn của hàng số1.2.1. Khái niệm1.2.1.1. Hàng số Ta điện thoại tư vấn dãy số là 1 trong những tập hợp những số (gọi là các số hạng) được viết theo một máy tự, giỏi được khắc số bằng các số từ bỏ nhiên. Để cho một dãy số, người ta rất có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng quát và bí quyết truy hồi. • Liệt kê: Viết toàn bộ các số hạng theo như đúng thứ từ bỏ (nếu ko viết được không còn thì sử dụng dấu “…” để biểu lộ dãy xem thêm tục). • công thức tổng quát: chỉ rõ cách xác minh một số hạng ngẫu nhiên chỉ nên biết thứ từ của số hạng đó trong dãy. • phương pháp truy hồi: chứng thực cách khẳng định một số hạng lúc biết các số hạng liền trước nó vào dãy. • Liệt kê chỉ có ý nghĩa sâu sắc mô tả và tương thích nhất với dãy hữu hạn, rất có thể xem là cách màn biểu diễn bằng quy hấp thụ không trả toàn. Còn hai biện pháp kia đảm bảo có thể tìm được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy. Ví dụ như 9: dãy Fibonacci cùng 3 cách màn biểu diễn nêu trên • Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … • công thức tổng quát: Số hạng thiết bị n là: n n ⎛ 1− 5 ⎞ ⎛ 1+ 5 ⎞ ⎜ 2 ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ • phương pháp truy hồi: nhì số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính bằng tổng nhị số hạng tức khắc trước. Công thức tổng thể của dãy số là biện pháp biểu diễn rất tốt để rất có thể định nghĩa dãy số. Nhờ nó, hàng số được tư tưởng một bí quyết hết sức đơn giản và dễ dàng mà chặt chẽ. Định nghĩa: hàng số là 1 trong ánh xạ (hàm số) gồm miền xác định là (hoặc một tập con các số trường đoản cú nhiên thường xuyên của ) với lấy giá trị trong tập những số thực R . Ta thường cam kết hiệu dãy số vì chưng x n n =1 tuyệt gọn rộng x n . ∞ 11 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và tiếp tục Ví dụ 10: ∞ ⎧1⎫ ⎧11 1⎫ ⎨ ⎬ = ⎨1, , ,..., ,...⎬ (A) ⎩ n ⎭n =1 ⎩ 2 3 n⎭ (−1) = −1,1, −1,..., (−1) n ,... N∞ (B) n =1 n = 1, 4,9,..., n 2 ,...

Xem thêm: 110 Em Bé Ngộ Đáng Yêu Hài Vui Ý Tưởng, Hình Ảnh Ngộ Nghĩnh, Đáng Yêu Của Các Bé

2∞ (C) n =1 ∞ ⎧n⎫ ⎧1 2 3 ⎫ n ⎬ = ⎨ , , ,..., (D) ,...⎬ ⎨ ⎩ n + 1 ⎭n =1 ⎩ 2 3 4 n +1 ⎭1.2.1.2. Hàng tăng, dãy giảm, hàng bị chặn Dãy x n điện thoại tư vấn là • hàng tăng nếu như x n x n +1 ∀n ∈ • Dãy đối chọi điệu nếu như nó là dãy tăng hoặc hàng giảm. • Bị chặn trên nếu tồn tại số M thế nào cho x n ≤ M, ∀n ∈ • Bị ngăn dưới trường hợp tồn tại số m làm thế nào để cho x n ≥ m, ∀n ∈ • Bị chặn nếu vừa bị ngăn trên, vừa bị ngăn dưới. Trong ví dụ như 10 • hàng (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi vì 0 cùng bị ngăn trên bởi vì 1. • hàng (B) không đối kháng điệu, bị ngăn dưới vày −1 với bị chặn trên vị 1. • hàng (C) là dãy tăng, bị chặn dưới vày 1 không bị chặn bên trên nên không biến thành chặn. • hàng (D) là hàng tăng, bị ngăn dưới vị 0 và bị chặn trên do 1.1.2.2. Giới hạn của hàng số ∞ ⎧ 1⎫ ⎧1 1 1⎫ Xét hàng số ⎨ x n = n ⎬ = ⎨ , 2 ,..., n ,...⎬ . Khoảng cách giữa x n và 0 là: 2 ⎭n =1 ⎩ 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 xn − 0 = 2n Ta thấy: cho trước một trong những ε > 0 nhỏ nhắn tùy ý thì sẽ tìm được một số N sao để cho ∀n > N thì khoảng cách giữa x n và 0 sẽ nhỏ thêm hơn số ε đó. 1 Chẳng hạn, mang đến trước khoảng chừng ε = 0, 05 thì chỉ việc n = 8 thì x n − 0 = 0 đến trước (bé tùy ý), sống thọ số tự nhiên n 0 sao để cho với hồ hết n > n 0 thì x n − a bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục Ta viết: lim x n = a hay x n → a khi n → ∞ . N →∞ hàng x n được điện thoại tư vấn là dãy quy tụ nếu sống thọ số a nhằm lim x n = a . Trong trường hòa hợp n →∞ ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Trong khái niệm trên, số n 0 phụ thuộc vào ε buộc phải ta viết n 0 = n 0 (ε) . Lấy ví dụ 11: 1 = 0. Lim n →∞ n thật vậy, ta có: 1 xn − 0 = . N ⎡1 ⎤ Với từng ε > 0 bất kỳ chỉ cần chọn n 0 = ⎢ ⎥ + 1 thì lúc n > n 0 tất cả ngay ⎣ε⎦ 1 1 xn − 0 = 0 mang đến trước (lớn tùy ý), trường thọ số thoải mái và tự nhiên n 0 làm sao cho với hầu hết n > n 0 thì x n > M ; ta cũng viết lim x n = ∞ với là dãy phân kỳ. N →∞ Trên trên đây chỉ phát biểu định nghĩa số lượng giới hạn vô cùng nói chung, ta rất có thể phát biểu chi tiết hơn về giới hạn +∞, −∞ .1.2.3. Tiêu chuẩn tồn trên giới hạn1.2.3.1. Tính tốt nhất của giới hạn Định lý: trường hợp một dãy có số lượng giới hạn (hữu hạn) thì • Dãy sẽ là dãy bị ngăn . • giới hạn là duy nhất.1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp ví như có cha dãy số x n , y n , z n thỏa mãn: • x n ≤ yn ≤ zn lim x n = lim z n = a ( a rất có thể hữu hạn, +∞ hoặc −∞ ) thì y n có giới hạn và • n →∞ n →∞ lim y n = a . N →∞1.2.3.3. Định lý Weierstrass dãy số tăng và bị ngăn trên (hoặc sút và bị chặn dưới) thì hội tụ. 13 bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục1.2.4. Các định lý về số lượng giới hạn của dãy số đến x n , y n là các dãy có giới hạn hữu hạn. Cần sử dụng định nghĩa có thể chứng minh các công dụng sau: lim(x n ± y n ) = lim x n ± lim y n n →∞ n →∞ n →∞ lim(x n y n ) = lim x n lim y n n →∞ n →∞ n →∞ x n lim x n = n →∞ (khi lim y n ≠ 0) . Lim n →∞ y lim y n n →∞ n n →∞ chú ý rằng lúc cả x n , y n có những giới hạn vô cực thì nhìn tổng thể không sử dụng 0∞ , , ∞ − ∞, 0.∞ . Khi đó ta được các hiệu quả nói trên. Các dạng vô định thường chạm mặt là 0∞ buộc phải dùng những phép đổi khác để khử dạng vô định. Ví dụ như 12: 12 1+ − 2 ⎛∞⎞ n2 + n − 2 n n = 1. = lim ⎜ ⎟ : n →∞ lim 1 ⎝∞⎠ 2n + 1 2 2 n →∞ 2+ 2 n ⎛ ⎞ 2 3− ⎜ ⎟3 ) ( ⎛ ⎞ 3n − 2 n = lim ⎜ ⎟= . (∞ − ∞) : lim n 2 + 3n − 2 − n = lim ⎜ ⎟ n →+∞ ⎜ ⎟2 32 ⎝ n + 3n − 2 + n ⎠ n →+∞ n →+∞ 2 ⎜ 1+ − 2 +1 ⎟ ⎝ ⎠ nn1.3. Giới hạn và sự liên tiếp của hàm số1.3.1. Định nghĩa1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số) đưa sử hàm số f (x) khẳng định ở kề bên điểm x 0 (có thể trừ tại x 0 ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là A khi x dần tới x 0 nếu: với mọi số ε > 0 cho trước, hầu như tồn tại một số δ > 0 làm thế nào để cho khi: x − x 0 x 0 giỏi x bài bác 1: Hàm số, giới hạn và tiếp tục • quá trình x tiến mang đến x 0 về phía bên phải, tức là x → x 0 với điều kiện x > x 0 , được kí hiệu là: x → x 0 + 0 hoặc đơn giản dễ dàng hơn là x → x 0 + • quy trình x tiến cho x 0 về phía bên trái, tức là x → x 0 với đk x x 0 • giới hạn bên trái: lim f (x) = f (x) . Lim x →x0 − x → x 0 ,x b (L b (f (x) g(x) ) với tất cả x ∈ {x ∈ R : 0 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và thường xuyên lim ( f (x)g(x) ) = L1L 2 • x →a f (x) L1 = • khi L 2 ≠ 0 . Lim g(x) L 2 x →a Định lý: giả sử ϕ( x) và f (u) vừa lòng các điều kiện: lim ϕ(x) = b cùng lim f (u) = f ( b ) = L • x →a u →b • trường thọ số δ > 0 làm sao cho khi x ∈ (a − δ;a + δ) và x ≠ a ta luôn luôn có: u = ϕ(x) ≠ b thì: lim f ( ϕ(x) ) = L . X →a Định lý: ví như hàm số sơ cấp f (x) xác minh trong khoảng tầm chứa điểm x = a thì lim f (x) = f (a) . X →a Định lý: trường hợp tồn tại số δ > 0 làm sao để cho u(x) ≤ f (x) ≤ v(x) với đa số x ∈ {x ∈ R : 0 0, lim g(x) = α . Lúc đó: lim g(x ) = bα . X →a x →a x →a lấy một ví dụ 13: 3x 2x − 1 ⎛ 2x − 1 ⎞ x −5 3x = 2 cùng lim = 3. ⎟ = 2 = 8 , vì lim 3 lim ⎜ x →∞ x + 1 x →∞ x − 5 ⎝ x +1 ⎠ x →∞ Định lý: trường hợp lim f (x) = 0 và g(x) là một trong những hàm số bị ngăn thì lim f (x).g(x) = 0 . X →a x →a 1 1 = 0 bởi vì lim x 2 = 0 và sin là hàm bị chặn. Ví dụ: lim x 2 sin x x x →0 x →01.3.3. Hết sức lớn, vô cùng bé1.3.3.1. Tư tưởng • Đại lượng f(x) gọi là 1 trong những vô cùng nhỏ nhắn (viết tắt là VCB) khi x → a nếu như lim f (x) = 0 . X →a Ở đây, a có thể là hữu hạn tốt vô cùng. Tự định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f (x) → A lúc x → a thì f (x) = A + α(x) trong đó α(x) là 1 VCB khi x → a • Đại lượng F(x) gọi là 1 trong những vô cùng phệ (viết tắt là VCL) lúc x → a nếu như lim F(x) = +∞ x →a16 bài 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tiếp 1 • hoàn toàn có thể dễ dàng thấy rằng giả dụ f(x) là 1 trong những VCB không giống không lúc x → a vậy nên VCL f (x) 1 và trái lại nếu F(x) là một trong những VCL không giống không lúc x → a thì là một VCB F(x) lúc x → a . Chú thích: • Một hàm hằng không giống không dù nhỏ tuổi bao nhiêu cũng không là một trong những VCB khi x → a • Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một trong VCL khi x → a1.3.3.2. đặc điểm • trường hợp f1 (x), f 2 (x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a thì f1 (x) ± f 2 (x), f1 (x).f 2 (x) cũng là những vcb khi x → a . • nếu như f1 (x), f 2 (x) thuộc dấu với là hai VCL khi x → a thì f1 (x) + f 2 (x) cũng là một trong những VCL khi x → a . Tích của hai VCL khi x → a cũng là 1 trong những VCL lúc x → a .1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé nhỏ • Bậc của các VCB Định nghĩa: trả sử α( x), β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a . α(x) = 0 ; ta bảo rằng α( x) là ngân hàng ngoại thương vietcombank bậc cao hơn β( x) . Trường hợp lim o β(x) x →a α(x) = ∞ ; ta bảo rằng α(x) là ngân hàng ngoại thương vcb bậc thấp rộng β(x) . Nếu lim o β(x) x →a α(x) = A (≠ 0, ≠ ∞) ; ta bảo rằng α(x) cùng β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank cùng bậc. Ví như lim o x → a β(x) α(x) ko tồn tại, ta nói rằng không thể đối chiếu hai vcb α(x) và Nếu lim o x → a β(x) β( x) . Lấy ví dụ 14: 1 − cos x cùng 2x các là những ngân hàng ngoại thương khi x → 0 . X x sin 2 sin 1 − cos x 2 = lim sin x .lim 1 . 2 =0 = lim Vì: lim x 2x x 2 2 x →0 x →0 x →0 2 bắt buộc 1 − cos x là vietcombank bậc cao hơn nữa 2x . Ví dụ như 15: 1 x.sin cùng 2x là những ngân hàng ngoại thương khi x → 0 . X 1 1 x sin sin x = 1 lim sin 1 . X = lim Vì: lim 2x 2 2 x →0 x x →0 x →0 17 bài bác 1: Hàm số, giới hạn và liên tiếp 1 1 bắt buộc x sin cùng 2x là hai vietcombank khi x → 0 không dẫu vậy không vĩnh cửu lim sin x x x →0 so sánh được với nhau. • VCB tương tự Định nghĩa: Hai vcb α ( x ) và β ( x ) không giống 0 khi x → a điện thoại tư vấn là tương đương với nhau ví như α(x) =1. Lim β(x) x →a Kí hiệu: α( x) ~ β ( x ) dấn xét: 2VCB tương tự là ngôi trường hợp đặc biệt quan trọng của 2 vcb cùng bậc. Định lý: giả dụ α(x) với β(x) là hai ngân hàng ngoại thương vietcombank khi x → a , α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) lúc x → a thì: α (x) α(x) = lim 1 lim . X → a β(x) x → a β (x) 1 α(x) β(x) thiệt vậy, vị α(x) ~ α1 (x), β(x) ~ β1 (x) ; ta có: lim = 1; lim = 1. α1 (x) x → a β (x) x →a 11.3.3.4. Các vô cùng bé bỏng tương đương thường gặp Nếu α(x) → 0 khi x → a thì : ⎧sin α(x) ~ α(x), tgα(x)~α(x), ⎨ ⎩arcsinα(x) ~ α(x), arctgα(x) ~ α(x).1.3.4. Hàm số liên tục1.3.4.1. Định nghĩa f là một trong hàm số xác minh trong khoảng (a, b), x 0 là 1 điểm thuộc (a, b) .Ta nói rằng hàm số f thường xuyên tại x 0 nếu: limf(x) =f(x0). (1.1) x→x0 nếu hàm số f không liên tiếp tại x 0 , ta bảo rằng nó cách trở tại x 0 . Trường hợp đặt: x = x 0 + Δx, Δy = f (x) − f (x 0 ) thì đẳng thức (1.1) rất có thể viết là: lim = 0 hay lim Δy = 0 . X →x0 Δx →0 Chú thích: Ta cũng nói theo cách khác rằng f thường xuyên tại x 0 ∈ (a, b) nếu: lim f (x) = f ( lim x) . X →x0 x →x0 ví dụ 16: Hàm số y = x 2 liên tiếp tại số đông x 0 ∈ R . Thật vậy, ta có: y 0 = x 0 2 , y0 + Δy = (x 0 + Δx) 2 , Δy = (x 0 + Δx) 2 − x 0 2 = 2x 0 Δx + (Δx) 2 ; lim Δy = 2x 0 . Lim Δx + lim Δx. Lim Δx = 0. Δx → 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx →0 tương tự như vậy, gồm thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ phiên bản đều tiếp tục tại hồ hết điểm thuộc miền xác minh của nó.18 bài xích 1: Hàm số, số lượng giới hạn và liên tục Định nghĩa: f(x) được call là: liên tục trong khoảng (a, b) nếu nó liên tiếp tại các điểm của khoảng chừng đó. Liên tiếp trên đoạn , ví như nó liên tiếp tại phần đông điểm của khoảng tầm (a, b) , đồng thời tiếp tục phải tại a (tức là lim f (x) = f (a) ) và liên tiếp trái tại b (tức là: lim f (x) = f (b) ). X →a + 0 x →b −01.3.4.2. Những phép toán về hàm tiếp tục Từ những định lý về giới hạn của tổng, tích, thương cùng từ khái niệm của hàm số tiếp tục tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra: Định lý: ví như f và g là hai hàm số liên tục tại x 0 thì: • f (x) + g(x) liên tiếp tại x 0 • f (x).g(x) thường xuyên tại x 0 f (x) • thường xuyên tại x 0 nếu như g(x 0 ) ≠ 0 . G(x) Định lý: nếu như hàm số u = ϕ(x) tiếp tục tại x 0 , hàm số y = f (u) thường xuyên tại u 0 = ϕ(x 0 ) thì hàm số thích hợp y = (f ϕ)(x) = f tiếp tục tại x 0 . Triệu chứng minh: Ta tất cả lim ϕ(x) = ϕ(x 0 ) = u 0 bởi ϕ tiếp tục tại x 0 . X →x0 Hàm số: y = f (u) tiếp tục tại u 0 . Vày đó: lim f (u) = f (u 0 ) u →u01.3.4.3. đặc thù của hàm số liên tiếp Các định lý sau đây (không hội chứng minh) nêu ra những đặc điểm cơ bạn dạng của hàm số liên tục. Định lý: nếu như hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại nhị số m với M sao để cho m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ . Định lý: giả dụ hàm số f (x) liên tục trên đoạn thì nó đạt giá chỉ trị bé dại nhất m cùng giá trị lớn nhất M của nó trên đoạn ấy, có nghĩa là tồn tại nhì điểm x1 , x 2 sao cho: f (x 1 ) = m ≤ f (x) ∀x ∈ ; f (x 2 ) = M ≥ f (x) ∀x ∈ Định lý (về quý giá trung gian): ví như hàm số f (x) liên tiếp trên đoạn ; m với M là các giá trị nhỏ dại nhất và lớn số 1 trên đoạn đó thì với mọi số μ nằm giữa m và M luôn tồn trên ξ ∈ sao cho: f ( ξ) = μ . Hệ quả: nếu như f(x) liên tiếp trên , f(a)f(b) bài xích 1: Hàm số, giới hạn và liên tụcTÓM LƯỢC CUỐI BÀITrong bài này họ nghiên cứu vãn ba vấn đề là:• Những sự việc cơ bạn dạng về hàm số một biến số• dãy số và số lượng giới hạn của hàng số• giới hạn của hàm sốPhần trước tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một đổi mới số, một số tính chấtcủa hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ khám phá cáckhái niệm về dãy số và số lượng giới hạn của hàng số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số.Phần sau cùng trình bày về số lượng giới hạn hàm số, hàm số liên tiếp và những khái niệm khôn xiết lớn, vôcùng bé.20