Có Tất Cả Bao Nhiêu Số Tự Nhiên Nhỏ Hơn Trả Lời: Có Tất Cả Số Thỏa Mãn Đề Bài.

Điều hành viên THPT

764 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội ChâuSở thích:$\boxed{Maths}$
Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số có tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$

Treasure every moment that you have!And remember that Time waits for no one.

Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.Today is a gift. That’s why it’s called the present.

#2YoLo

YoLo

Thượng sĩ

Thành viên

223 Bài viếtGiới tính:NamSở thích:Nothing

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số có tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$

Nếu là số có $1$ chữ số chỉ có $0;9$

Tổng quát xét số có $k$ chữ số ( $kgeq 2$)

Có $10$ cách chọn chữ số hàng đơn vị ( xõa từ $0$ đến $9$)

$10$ cách chọn chữ số hàng chục

……….

$10$ cách chọn chữ số hàng thứ $k-1$

Tổng các chữ số các hàng đơn vị , chục, …., $k-1$ có thể $equiv 0,1,2,3,4,5,6,7,8(mod9)$

Vì là chữ số hàng thứ $k$ ( không thể bằng $0$) nên $exists !1$ cách chọn chữ số hàng thứ $k$)

nên với số có $k$ chữ số thì có $10^{k-1}$ số tm

vậy tất cả $sum_{k=2}^{2008}10^{k-1}+2$

Người ta không mắc sai lầm vì dốt mà là vì tưởng là mình giỏi

#3chanhquocnghiem

chanhquocnghiemThiếu tá

Thành viên

2093 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Vũng TàuSở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Hỏi có tất cả bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho $9$ mà mỗi số có tối đa $2008$ chữ số và trong đó có ít nhất hai chữ số $9$

Số số tự nhiên có tối đa $2008$ chữ số và chia hết cho $9$ là :

$M=frac{10^{2008}-1}{9}+1=underbrace{111…1}_{2008 chu so 1}+1=sum_{k=0}^{2007}10^k+1$ (ta gọi đây là tập $B$)

Gọi $N$ là số số tự nhiên thuộc tập $B$ không chứa chữ số $9$. Ta tính $N$ :

+ Điền $2007$ chữ số đầu tiên : Có $9^{2007}$ cách (vì có thể điền chữ số $0$ nên mỗi vị trí có $9$ cách)

+ Điền chữ số cuối cùng : $1$ cách

$Rightarrow N=9^{2007}$

Gọi $P$ là số số tự nhiên thuộc tập $B$ chỉ chứa đúng $1$ chữ số $9$. Ta tính $P$ :

+ Chọn vị trí điền chữ số $9$ : Có $2008$ cách.

Xem thêm:

+ Điền thêm $2006$ chữ số nữa : Có $9^{2006}$ cách (có thể điền chữ số $0$)

+ Điền chữ số cuối cùng : $1$ cách.

$Rightarrow P=2008.9^{2006}$

Đáp án là $M-N-P=sum_{k=0}^{2007}10^k+1-9^{2007}-2008.9^{2006}=sum_{k=0}^{2007}10^k-2017.9^{2006}+1$

Cũng có thể viết là $sum_{k=1}^{2008}10^{k-1}-2017.9^{2006}+1=sum_{k=2}^{2008}10^{k-1}-2017.9^{2006}+2$

(Đáp án này nhỏ hơn đáp án của bạn YoLo ở trên rất nhiều)

#4BurakkuYokuro11

1. Tính số các số ko có chữ số 9 nào và chia hết cho 9 (số loại 1).Giả sử $m=overline{a_1a_2…a_{2008}}$. Ta có $a_i=0,1,…,8$.Ta có số $k=overline{a_1a_2…a_{2007}}$ có $9^{2007}$ lựa chọn và $a_{2008}$ có duy nhất $1$ lựa chọn phụ thuộc vào $k$. Do đó ở trường hợp này số các số thỏa mãn là $9^{2007}$2. Tính số các số có không quá 2008 chữ số chia hết cho 9và có 1 chữ số 9 (số loại 2).Ta loại chữ số 9 đó đi và đi tính số các số có 2007 chữ số chia hết cho 9 và có 0 chữ số 9. Như trên ta có số các số đó là $9^{2006}$.Nhưng ta có với mỗi số đó và số 9 thì cho ra $2008.9^{2006}$ số loại 2.Vậy tổng cộng có $9^{2007}+2008.9^{2006}$ số cả hai loại 1 và 2.Do đó số các số thỏa mãn bài toán ban đầu là$dfrac{10^{2008}+8}{9}-2017.9^{2006}$