TÍNH NHANH ĐỊNH THỨC MA TRẬN CẤP 4

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

*

1. Phần bù đại số

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi đó $A_ij=(-1)^i+jM_ij,$ với $M_ij$ là định thức nhận thấy từ định thức của ma trận $A$ bằng cách bỏ đi mẫu $i$ với cột $j$ được hotline là phần bù đại số của bộ phận $a_ij.$

Ví dụ 1:Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight).$

Tính các phần bù đại số $A_11,A_12,A_13,A_14.$

Giải.

Bạn đang xem: Tính nhanh định thức ma trận cấp 4

Ta có:

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Công thức triển khai Laplace

Cho ma trận $A=(a_ij)_n imes n$ khi đó

$det (A)=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+a_inA_in ext (i=1,2,...,n)$

đây là công thức khai triển định thức ma trận $A$ theo mẫu thứ $i.$

$det (A)=a_1jA_1j+a_2jA_2j+...+a_njA_nj ext (j=1,2,...,n)$

đây là cách làm khai triển định thức ma trận $A$ theo cộng thứ $j.$

Ví dụ 1: Tính định thức của ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 1&m\ 3&1&4&2\ - 3&4&2&1\ - 1&2&1&3 endarray ight)$ theo bí quyết khai triển cái 1.

Giải. Có$det (A)=1.A_11+2.A_12-1.A_13+m.A_14,$ trong các số ấy

$eginarrayl A_11 = ( - 1)^1 + 1left| eginarray*20c 1&4&2\ 4&2&1\ 2&1&3 endarray ight| = - 35;A_12 = ( - 1)^1 + 2left| eginarray*20c 3&4&2\ - 3&2&1\ - 1&1&3 endarray ight| = - 45;\ A_13 = ( - 1)^1 + 3left| eginarray*20c 3&1&2\ - 3&4&1\ - 1&2&3 endarray ight| = 34;A_14 = ( - 1)^1 + 4left| eginarray*20c 3&1&4\ - 3&4&2\ - 1&2&1 endarray ight| = 7. endarray$

Vậy $det (A)=-35+2.(-45)-34+7m=7m-159.$

Ví dụ 2: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&1&2&2\ - 3&1&5&1\ - 2&5&0&0\ 2& - 1&3& - 1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cái 3 của định thức tất cả 2 thành phần bằng 0 đề nghị khai triển theo chiếc này sẽ chỉ tất cả hai số hạng

Ví dụ 3: Tính định thức $left| eginarray*20c 0&1&2& - m\ - 2& - 1&2&1\ 0& - 3&4&2\ 0& - 5&1&1 endarray ight|.$

Giải. Để ý cột 1 bao gồm 3 phần tử bằng 0 đề nghị khai triển theo cột 1 ta có

Ví dụ 4: Tính định thức

Giải. Để ý cột 3 có thành phần đầu tiên là 1, vậy ta sẽ chuyển đổi sơ cung cấp cho định thức theo cột 3

*

Ví dụ 5: Tính định thức $left| eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ 2& - 4&3&1\ - 3&2&1&2 endarray ight|.$

Giải.

*

Ví dụ 6: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 3&2&1&2 endarray ight).$ Tính tổng những phần bù đại số của các thành phần thuộc chiếc 4 của ma trận $A.$

Giải. Thay các phần tử ở loại 4 của ma trận A bởi vì $-2,$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2& - 3&4\ - 1&3&1& - m\ - 2& - 2& - 2& - 2\ - 2& - 2& - 2& - 2 endarray ight)$ tất cả định thức bởi 0 vì gồm hai chiếc giống nhau cùng hai ma trận $A,B$ có các phần bù đại số của các bộ phận dòng 4 tương tự nhau.

Vậy $det (B)=-2A_41-2A_42-2A_43-2A_44=0Leftrightarrow A_41+A_42+A_43+A_44=0.$

Ví dụ 7: Cho ma trận $A = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ - 4&5& - 6&7 endarray ight).$ Tính $A_41+2A_42+3A_43+4A_44.$

Giải. Thay các thành phần ở chiếc 4 của ma trận A lần lượt do $1,2,3,4$ ta được ma trận $B = left( eginarray*20c 1&2&3&4\ - 2& - 1&4&1\ 3& - 4& - 5&6\ 1&2&3&4 endarray ight)$ bao gồm định thức bằng 0 vì tất cả hai loại giống nhau và hai ma trận $A,B$ có những phần bù đại số của các phần tử dòng 4 giống nhau

Vậy $det (B)=1A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0Leftrightarrow A_41+2A_42+3A_43+4A_44=0.$

Ví dụ 8: Cho D là một định thức cung cấp n có tất cả các thành phần của một dòng thứ i bằng 1. Chứng minh rằng:

Tổng các phần bù đại số của các thành phần thuộc mỗi mẫu khác cái thứ i đều bằng 0.Định thức D bằng tổng phần bù đại số của tất cả các thành phần của nó.

Xem thêm: Hướng Dẫn 4 Cách Khôi Phục Bài Viết Đã Xóa Trên Facebook Siêu Đơn Giản

Ví dụ 9: Tính định thức $left| eginarray*20c - 2&5&0& - 1&3\ 1&0&3&7& - 2\ 3& - 1&0&5& - 5\ 2&6& - 4&1&2\ 0& - 3& - 1&2&3 endarray ight|.$

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c 1& - 2&3&2& - 5\ 2&1&2& - 1&3\ 1&4&2&0&1\ 3&5&2&3&3\ 1&4&3&0& - 3 endarray ight|.$

3. Định thức của ma trận tam giác

Định thức của ma trận tam giác bằng tích các bộ phận nằm trên đường chéo chính

Thật vậy, đối với ma trận tam giác trên khai triển theo cột 1 có:

*

đối với ma trận tam giác bên dưới khai triển theo chiếc 1.

4. Tính định thức dựa vào các đặc điểm định thức, cách làm khai triển Laplace và đổi khác về ma trận tam giác

Ví dụ 10: Tính định thức $left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|.$

Giải. Ta có:

$eginarrayl left| eginarray*20c a&b&...&b\ b&a&...&b\ ...&...&...&...\ b&b&...&a endarray ight|underlineunderline c2 + c3 + ... + cn + c1 left| eginarray*20c a + (n - 1)b&b&...&b\ a + (n - 1)b&a&...&b\ ...&...&...&...\ a + (n - 1)b&b&...&a endarray ight|\ = left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 1&a&...&b\ ...&...&...&...\ 1&b&...&a endarray ight|\ underlineunderline - d_1 + d_i left( a + (n - 1)b ight)left| eginarray*20c 1&b&...&b\ 0&a - b&...&b\ ...&...&...&...\ 0&0&...&a - b endarray ight| = left( a + (n - 1)b ight)(b - b)^n - 1. endarray$

Hiện tại ucozfree.com xây đắp 2 khoá học tập Toán cao cấp 1 và Toán thời thượng 2 giành cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đh khối ngành kinh tế của toàn bộ các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kỹ năng và phương pháp giải bài tập các dạng toán đi kèm theo mỗi bài bác học. Khối hệ thống bài tập rèn luyện dạng từ luận gồm lời giải chi tiết tại website để giúp học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn rằng kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên đạt điểm A thi cuối kì những học phần Toán cao cấp 1 với Toán cao cấp 2 trong số trường kinh tế.

Sinh viên những trường ĐH sau đây có thể học được bộ combo này:

- ĐH tài chính Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH thương Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế tài chính ĐH tổ quốc Hà Nội

và những trường đại học, ngành kinh tế của những trường ĐH khác trên mọi cả nước...