TÍNH TỔNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA MỘT SỐ NGUYÊN DƯƠNG N

Trong nội dung bài viết trước, ta đã biết phương pháp tính số ước số của một số trong những tự nhiên . Bài viết này sẽ hình thành công thức tính tổng tất cả ước số từ n...

Bạn đang xem: Tính tổng các ước số của một số nguyên dương n


Trong bài viết trước, ta đã biết phương pháp tính số ước số của một trong những tự nhiên. Nội dung bài viết này sẽ hình thành công thức tính tổng tất cả ước số tự nhiên và thoải mái của một trong những nguyên dương mang lại trước.
*

Với những số nhỏ dại thì vấn đề tính tổng những ước khá đối kháng giản. Ta sẽ ban đầu từ lấy ví dụ sau:

1. Ví dụ mở đầu

Ví dụ 1.
Tính tổng tất cả ước số nguyên dương của số $24$.GiảiCác ước nguyên dương của $24$ là: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.$Tổng của chúng là $sigma(24)=1+2+3+4+6+8+12+24=60.$Nhận xét. Để ý rằng $24=2^3.3 $ nên các ước nguyên dương của $24$ rất có thể viết bên dưới dạng: $$1, 2^1, 2^2, 2^3, 3, 2.3, 2^2.3, 2^3.3.$$Tổng của chúng là $$sigma(24)=1+2^1+2^2+2^3+3(1+2+2^2+2^3)=(1+2^1+2^2+2^3)(1+3) \ = (2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1). $$

2. Công thức tính tổng những ước số

Định lí.
ví như số nguyên dương $n$ được so sánh thành thừa số nguyên tố: $$n=p_1^m_1.p_2^m_2...p_k^m_k$$thì tổng các ước nguyên dương của $n$ là $$sigma (n)= (p_1^0+p_1^1+...+p_1^m_1)(p_2^0+p_2^1+...+p_2^m_2)(p_k^0+p_k^1+...+p_k^m_k) (*)$$hay$$sigma (n)=prodlimits_i=1^k(fracp_i^m_i+1-1p_i-1) (**)$$Xem chứng tỏ định lí này.

Xem thêm: Không Tìm Thấy Trang Này - Bài Thơ Cây Dừa Của Trần Đăng Khoa Đặc Sắc Nhất

3. Ví dụ như áp dụng

Ví dụ 2. Tính tổng các ước nguyên dương của $200$.GiảiTa có: $200=2^3.5^2$.+ Áp dụng phương pháp (*), tổng những ước nguyên dương của $200$ là:$sigma(200)=(2^0+2^1+2^2+2^3)(5^0+5^1+5^2)=465.$+ Còn nếu áp dụng công thức (**) thì$sigma(200)=frac2^4-12-1.frac5^3-15-1=465.$Ví dụ 3. Tính tổng những ước nguyên dương của số $12345678$.Giải.Ta có: $12345678=2.3^2.47.14593$.Tổng các ước số thoải mái và tự nhiên của $12345678$ là:$sigma(12345678)=(1+2)(1+3+3^2)(1+47)(1+14593)=27319968.$ lấy một ví dụ 4. Tính tổng những ước nguyên dương của $n=1520540658$.GiảiTa có: $n=1520540658=2.3^2.7^2.13^2.101^2$.+ Áp dụng công thức (*), tổng những ước nguyên dương của $1520540658$ là:$sigma(n)=(2^0+2^1)(3^0+3^1+3^2)(7^0+7^1+7^2)(13^0+13^1+13^2)(101^0+101^1+101^2) \ =4191353127.$+ Còn nếu áp dụng công thức (**) thì$sigma(n)=frac2^2-12-1.frac3^3-13-1.frac13^3-113-1.frac101^3-1101-1=4191353127.$